Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} y^{3} + x = 9$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{3} + x) = \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} y^{3} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y^{3}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{3} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (3 y^{2} y') + y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$3 \cdot x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $y^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + 1$

Étape 3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + 1 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 y^{3} x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{3} y^{2} y' + 1 = - 3 y^{3} x^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{3} y^{2} y' = - 3 y^{3} x^{2} - 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{3} y^{2} y' = - 3 y^{3} x^{2} - 1$ par $3 x^{3} y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{3} y^{2} y' = - 3 y^{3} x^{2} - 1$ par $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} y^{2} y'}{3 x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{3} y^{2} y'}{3 x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} y^{2} y'}{x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} y^{2} y'}{x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- y^{3} x^{2})}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- y^{3} x^{2})}{3 (x^{3} y^{2})} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (- y^{3} x^{2})}{3 (x^{3} y^{2})} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{3} x^{2}}{x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{2}$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- y x^{2})}{x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- y x^{2})}{y^{2} x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y^{2} (- y x^{2})}{y^{2} x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- y x^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2} (- y)}{x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$y' = \frac{x^{2} (- y)}{x^{2} x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x^{2} (- y)}{x^{2} x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}$