Calcul infinitésimal Exemples

${(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2} = 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2}) = \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (π x) + \cos (π y)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (π x) + \cos (π y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $π x$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $π x$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Étape 2.4.3

Multipliez $π$ par $1$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = π y$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $π y$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π y])$

Étape 2.5.2

La dérivée de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $- \sin (u_{3})$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π y])$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $π y$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) \frac{d}{d x} [π y])$

Étape 2.6

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π y$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.7

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

Étape 2.8

Appliquez la propriété distributive.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y')) = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ par $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ par $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ par $1$ .

$\cos (π x) π - \sin (π y) π y' = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Étape 5.1.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

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Étape 5.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Étape 5.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin (π x)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 \cos (π y)}$

Étape 5.1.3.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (π y)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))}$

Étape 5.1.3.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

Étape 5.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 \cdot 0}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

Étape 5.1.3.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{\sin (π x) + \cos (π y)}$

Étape 5.1.3.2

Divisez $0$ par $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $π \cos (π x)$ des deux côtés de l’équation.

$- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ par $- π \sin (π y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ par $- π \sin (π y)$ .

$\frac{- π y' \sin (π y)}{- π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $\sin (π y)$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $\frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$ comme un produit.

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

Étape 5.3.3.4

Écrivez $\cos (π x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$y' = \frac{\cos (π x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (π y)}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez

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Étape 5.3.3.5.1

Divisez $\cos (π x)$ par $1$ .

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

Étape 5.3.3.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (π y)}$ à $\csc (π y)$ .

$y' = \cos (π x) \csc (π y)$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (π x) \csc (π y)$