Calcul infinitésimal Exemples

${(6 x - y)}^{4} + 3 y^{3} = 38392$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(6 x - y)}^{4} + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (38392)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(6 x - y)}^{4} + 3 y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(6 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(6 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(6 x - y)}^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 6 x - y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 x - y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [6 x - y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [6 x - y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 x - y$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} \frac{d}{d x} [6 x - y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Étape 2.2.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \cdot 1 - \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Étape 2.2.6

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \cdot 1 - y') + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Étape 2.2.7

Multipliez $6$ par $1$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (3 y^{2} y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 9 y^{2} y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 {(6 x - y)}^{3} \cdot 6 + 4 {(6 x - y)}^{3} (- y') + 9 y^{2} y'$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$24 {(6 x - y)}^{3} + 4 {(6 x - y)}^{3} (- y') + 9 y^{2} y'$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 {(6 x - y)}^{3} y' + 9 y^{2} y'$

Étape 3

Comme $38392$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $38392$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 {(6 x - y)}^{3} y' + 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $24 {(6 x - y)}^{3} - 4 {(6 x - y)}^{3} y' + 9 y^{2} y'$ .

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 y' {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $24 {(6 x - y)}^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y' {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2} y' = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y' {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2} y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y' {(6 x - y)}^{3}$ .

$y' (- 4 {(6 x - y)}^{3}) + 9 y^{2} y' = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $9 y^{2} y'$ .

$y' (- 4 {(6 x - y)}^{3}) + y' (9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 4 {(6 x - y)}^{3}) + y' (9 y^{2})$ .

$y' (- 4 {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.4

Utilisez le théorème du binôme.

$y' (- 4 ({(6 x)}^{3} + 3 {(6 x)}^{2} (- y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$y' (- 4 (6^{3} x^{3} + 3 {(6 x)}^{2} (- y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} + 3 {(6 x)}^{2} (- y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' (- 4 (216 x^{3} + 3 \cdot (- 1 {(6 x)}^{2} y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 3 {(6 x)}^{2} y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.5

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 3 (6^{2} x^{2}) y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.6

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 3 (36 x^{2}) y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.7

Multipliez $36$ par $- 3$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.8

Multipliez $6$ par $3$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.9

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x ({(- 1)}^{2} y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 \cdot ({(- 1)}^{2} x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.11

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 \cdot (1 x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.12

Multipliez $18$ par $1$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x y^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.13

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.5.14

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x y^{2} - y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.6

Appliquez la propriété distributive.

$y' (- 4 (216 x^{3}) - 4 (- 108 x^{2} y) - 4 (18 x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Multipliez $216$ par $- 4$ .

$y' (- 864 x^{3} - 4 (- 108 x^{2} y) - 4 (18 x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.7.2

Multipliez $- 108$ par $- 4$ .

$y' (- 864 x^{3} + 432 (x^{2} y) - 4 (18 x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.7.3

Multipliez $18$ par $- 4$ .

$y' (- 864 x^{3} + 432 (x^{2} y) - 72 (x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.7.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y' (- 864 x^{3} + 432 (x^{2} y) - 72 (x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.8.1

Supprimez les parenthèses.

$y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 (x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.8.2

Supprimez les parenthèses.

$y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Étape 5.9

Divisez chaque terme dans $y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$ par $- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.9.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$ par $- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}$ .

$\frac{y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2})}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}} = \frac{- 24 {(6 x - y)}^{3}}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Étape 5.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.9.2.1

Annulez le facteur commun de $- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}$ .

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Étape 5.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.9.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 24 {(6 x - y)}^{3}}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Étape 5.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Étape 5.9.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 864 x^{3}$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3}) + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Étape 5.9.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $432 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3}) - (- 432 x^{2} y) - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Étape 5.9.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (864 x^{3}) - (- 432 x^{2} y)$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y) - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Étape 5.9.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 72 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y) - (72 x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Étape 5.9.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y) - (72 x y^{2})$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Étape 5.9.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $4 y^{3}$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2}) - (- 4 y^{3}) + 9 y^{2}}$

Étape 5.9.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2}) - (- 4 y^{3})$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3}) + 9 y^{2}}$

Étape 5.9.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $9 y^{2}$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3}) - (- 9 y^{2})}$

Étape 5.9.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3}) - (- 9 y^{2})$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})}$

Étape 5.9.3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.9.3.11.1

Réécrivez $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})$ comme $- 1 (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- 1 (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})}$

Étape 5.9.3.11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

Étape 5.9.3.11.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' = 1 \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

Étape 5.9.3.11.4

Multipliez $\frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$ par $1$ .

$y' = \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$