Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 2 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3}{x} - \frac{3}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{y}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.7

Soustrayez $y'$ de $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 x^{- 2} - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Étape 2.3.9

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- 3 x^{- 2} + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.10

Associez $3$ et $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}} = 2$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $\frac{3}{x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{3 y'}{y^{2}} = 2 + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 y' = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $(2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3}{x^{2}} y^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Associez $\frac{3}{x^{2}}$ et $y^{2}$ .

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ par $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.4.3.1.2

Associez.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

Étape 5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

Étape 5.4.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 5.4.3.1.4

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$