Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x^{5} + y} = 9 x + 3 y + 10$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (e^{x^{5} + y}) = \frac{d}{d x} (9 x + 3 y + 10)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{5} + y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5} + y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5} + y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5} + y$ .

$e^{x^{5} + y} \frac{d}{d x} [x^{5} + y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{5} + y} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y')$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x + 3 y + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 3.2.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 + 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$9 + 3 y' + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 3.4

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 + 3 y' + 0$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Additionnez $9 + 3 y'$ et $0$ .

$9 + 3 y'$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 y' + 9$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y') = 3 y' + 9$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y')$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y') = 3 y' + 9$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y') = 3 y' + 9$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4}) + e^{x^{5} + y} y' = 3 y' + 9$

Étape 5.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 e^{x^{5} + y} x^{4} + e^{x^{5} + y} y' = 3 y' + 9$

Étape 5.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 e^{x^{5} + y} x^{4} + e^{x^{5} + y} y'$ .

$5 x^{4} e^{x^{5} + y} + y' e^{x^{5} + y} = 3 y' + 9$

Étape 5.2

Soustrayez $3 y'$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{4} e^{x^{5} + y} + y' e^{x^{5} + y} - 3 y' = 9$

Étape 5.3

Soustrayez $5 x^{4} e^{x^{5} + y}$ des deux côtés de l’équation.

$y' e^{x^{5} + y} - 3 y' = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' e^{x^{5} + y} - 3 y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' e^{x^{5} + y}$ .

$y' (e^{x^{5} + y}) - 3 y' = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y'$ .

$y' (e^{x^{5} + y}) + y' \cdot - 3 = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (e^{x^{5} + y}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (e^{x^{5} + y} - 3) = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (e^{x^{5} + y} - 3) = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$ par $e^{x^{5} + y} - 3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (e^{x^{5} + y} - 3) = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$ par $e^{x^{5} + y} - 3$ .

$\frac{y' (e^{x^{5} + y} - 3)}{e^{x^{5} + y} - 3} = \frac{9}{e^{x^{5} + y} - 3} + \frac{- 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{5} + y} - 3$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (e^{x^{5} + y} - 3)}{e^{x^{5} + y} - 3} = \frac{9}{e^{x^{5} + y} - 3} + \frac{- 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{9}{e^{x^{5} + y} - 3} + \frac{- 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$