Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + 3 x y + y^{3} = 10$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (10)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 x y + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x + 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 y^{2} y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 3 (x y') + 3 y + 3 y^{2} y'$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x + 3 x y' + 3 y + 3 y^{2} y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x + 3 y$

Étape 3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x + 3 y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 3 y = - 2 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 x y' + 3 y^{2} y' = - 2 x - 3 y$

Étape 5.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 x y' + 3 y^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 x y'$ .

$3 y' x + 3 y^{2} y' = - 2 x - 3 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x + 3 y' y^{2} = - 2 x - 3 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' x + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$ par $3 (x + y^{2})$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$ par $3 (x + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x + y^{2})}{3 (x + y^{2})} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' (x + y^{2})}{3 (x + y^{2})} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x + y^{2})}{x + y^{2}} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x + y^{2}$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + y^{2})}{x + y^{2}} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{3 (- y)}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{3 (- y)}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- y}{x + y^{2}}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y}{x + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{y}{x + y^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y}{x + y^{2}} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 (x + y^{2})$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{y}{x + y^{2}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y \cdot 3}{(x + y^{2}) \cdot 3}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x + y^{2}) \cdot 3$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y \cdot 3}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 3}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.9.1

Réécrivez $- (2 x + 3 y)$ comme $- 1 (2 x + 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Étape 5.3.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x + 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 3 y}{3 (x + y^{2})}$