Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + 4 x y + 4 y = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x y + 4 y) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x y + 4 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x y$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x + 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 4 y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 4 (x y') + 4 y + 4 y'$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x + 4 x y' + 4 y + 4 y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x y' + 2 x + 4 y + 4 y'$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 x y' + 2 x + 4 y + 4 y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x y' + 4 y + 4 y' = - 2 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$4 x y' + 4 y' = - 2 x - 4 y$

Étape 5.2

Factorisez $4 y'$ à partir de $4 x y' + 4 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4 y'$ à partir de $4 x y'$ .

$4 y' x + 4 y' = - 2 x - 4 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $4 y'$ à partir de $4 y'$ .

$4 y' x + 4 y' \cdot 1 = - 2 x - 4 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $4 y'$ à partir de $4 y' x + 4 y' \cdot 1$ .

$4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$ par $4 (x + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$ par $4 (x + 1)$ .

$\frac{4 y' (x + 1)}{4 (x + 1)} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y' (x + 1)}{4 (x + 1)} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (x + 1)$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 (x + 1))} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 (x + 1))} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x}{2 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{4 (- y)}{4 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{4 (- y)}{4 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y}{x + 1}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{y}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{y}{x + 1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x - y \cdot 2}{2 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' = \frac{- x - 2 y}{2 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2 y}{2 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (2 y)}{2 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (x + 2 y)}{2 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.9.1

Réécrivez $- (x + 2 y)$ comme $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2 y)}{2 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x + 2 y}{2 (x + 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2 y}{2 (x + 1)}$