Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} y = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (e^{x} y) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = y$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} y' + y e^{x}$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$e^{x} y' + y e^{x} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} y' + y e^{x}$ .

$y' e^{x} + y e^{x} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $y e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$y' e^{x} = - y e^{x}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' e^{x} = - y e^{x}$ par $e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' e^{x} = - y e^{x}$ par $e^{x}$ .

$\frac{y' e^{x}}{e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' e^{x}}{e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Étape 5.3.3.1.2

Divisez $- y$ par $1$ .

$y' = - y$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y$