Calcul infinitésimal Exemples

$x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 2.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 2.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Étape 2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Étape 2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Étape 2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Étape 2.3.6.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Étape 2.3.7

Associez $\frac{4}{3}$ et $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Étape 2.3.8

Associez $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ et $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Étape 2.4

Associez $\frac{4}{3}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Étape 5

Résolvez $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{3}}$ présent dans chaque terme.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Étape 5.2

Remplacez $x^{\frac{1}{3}}$ par $u$ .

$\frac{4 (u)}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Étape 5.3

Résolvez $u$ .

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Étape 5.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{4 u}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Étape 5.3.2

Soustrayez $\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4 u}{3} = - \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 5.3.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ par $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Étape 5.3.4.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4}$

Étape 5.3.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 (1)}$

Étape 5.3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$u = \frac{- y' y^{\frac{1}{3}}}{1}$

Étape 5.3.4.3.2.4

Divisez $- y' y^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$u = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.4

Remplacez $u$ par $y'$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y' (y^{\frac{1}{3}})$