Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - 5 x - 36 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 5 x - 36 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 5 x - 36$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 36$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 9, 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 9) (x + 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 9) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 9, - 4$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 9$

$x > 9$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{2} - 5 \cdot - 6 - 36 < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $30$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 5 \cdot 0 - 36 < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 36$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

${(12)}^{2} - 5 \cdot 12 - 36 < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $48$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 9$ Vrai

$x > 9$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 9$ Vrai

$x > 9$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 < x < 9$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 4, 9)$

Étape 11