Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} + 8 x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 8 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 8 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 8 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 8$ .

$x (x + 8) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 0, - 8$

Étape 7

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0, - 8$

$x = 4$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 8, 4$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 4 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 10)}^{2} + 8 (- 10)}{(- 10) - 4} > 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 1.\overline{428571}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 8 (- 4)}{(- 4) - 4} > 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2)}^{2} + 8 (2)}{(2) - 4} > 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 10$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} + 8 (6)}{(6) - 4} > 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $42$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 8 < x < 0$ ou $x > 4$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 8, 0) \cup (4, \infty)$

Étape 15