Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{3} (x) \sin^{3} (x)$

Étape 1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ .

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Étape 3

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (1 - u^{2}) u^{3} d u$

Étape 4

Développez $(1 - u^{2}) u^{3}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Étape 4.2

Multipliez $u^{3}$ par $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Étape 4.3

Factorisez le signe négatif.

$\int u^{3} - (u^{2} u^{3}) d u$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{3} - u^{2 + 3} d u$

Étape 4.5

Additionnez $2$ et $3$ .

$\int u^{3} - u^{5} d u$

Étape 4.6

Remettez dans l’ordre $u^{3}$ et $- u^{5}$ .

$\int - u^{5} + u^{3} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $u^{6}$ .

$- (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

$- \frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$