Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(4 - 3 x)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(4 - 3 x)}^{2}$ comme $(4 - 3 x) (4 - 3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [(4 - 3 x) (4 - 3 x)]$

Étape 2

Développez $(4 - 3 x) (4 - 3 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4 (4 - 3 x) - 3 x (4 - 3 x)]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) - 3 x (4 - 3 x)]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) - 3 x \cdot 4 - 3 x (- 3 x)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 4 (- 3 x) - 3 x \cdot 4 - 3 x (- 3 x)]$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 12 x - 3 x \cdot 4 - 3 x (- 3 x)]$

Étape 3.1.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 12 x - 12 x - 3 x (- 3 x)]$

Étape 3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [16 - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3 x \cdot x]$

Étape 3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3 (x \cdot x)]$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3 x^{2}]$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 12 x - 12 x + 9 x^{2}]$

Étape 3.2

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 24 x + 9 x^{2}]$

Étape 4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - 24 x + 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 5

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 7

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 9

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$- 24 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 10

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 24 + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 24 + 9 (2 x)$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$- 24 + 18 x$

Étape 12.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$18 x - 24$