Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x - 1) e^{3 x + 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = e^{3 x + 2}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 2}] + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x + 2$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 2$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x - 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 2$ .

$(x - 1) (e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 + 0) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} \cdot 3 + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $(x - 1) e^{3 x + 2}$ .

$3 \cdot ((x - 1) e^{3 x + 2}) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (1 + 0)$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} \cdot 1$

Étape 3.10.2

Multipliez $e^{3 x + 2}$ par $1$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x + 3 \cdot - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(3 x - 3) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{3 x + 2} (3 x - 3) + e^{3 x + 2}$

Étape 4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{3 x + 2} (3 x) + e^{3 x + 2} \cdot - 3 + e^{3 x + 2}$

Étape 4.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 e^{3 x + 2} x + e^{3 x + 2} \cdot - 3 + e^{3 x + 2}$

Étape 4.4.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $e^{3 x + 2}$ .

$3 e^{3 x + 2} x - 3 e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Étape 4.5

Additionnez $- 3 e^{3 x + 2}$ et $e^{3 x + 2}$ .

$3 e^{3 x + 2} x - 2 e^{3 x + 2}$

Étape 4.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{3 x + 2} x - 2 e^{3 x + 2}$ .

$3 x e^{3 x + 2} - 2 e^{3 x + 2}$