Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{49 - x^{2}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{49 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$49 - x^{2} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $49$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 49$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 49$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 49$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 49}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 49}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 49}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $- 49$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 49$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{49}$

Étape 2.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{49}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{49}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{7^{2}}$

Étape 2.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq | 7 |$

Étape 2.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $7$ est $7$ .

$| x | \leq 7$

Étape 2.5

Écrivez $| x | \leq 7$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 7$

Étape 2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 7$

Étape 2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 7 & x \geq 0 \\ - x \leq 7 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq 7$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 7$

Étape 2.7

Résolvez $- x \leq 7$ quand $x < 0$ .

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Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 7$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 7$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{7}{- 1}$

Étape 2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{7}{- 1}$

Étape 2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{7}{- 1}$

Étape 2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.1.3.1

Divisez $7$ par $- 1$ .

$x \geq - 7$

Étape 2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 7$ et $x < 0$ .

$- 7 \leq x < 0$

Étape 2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- 7 \leq x \leq 7$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 7, 7]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Étape 4