Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ comme une équation.

$y = \sqrt{1 - 9 x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{1 - 9 y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{1 - 9 y} = x$ .

$\sqrt{1 - 9 y} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{1 - 9 y}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - 9 y}$ comme ${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - 9 y)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$1 - 9 y = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 9 y = x^{2} - 1$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- 9 y = x^{2} - 1$ par $- 9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 9 y = x^{2} - 1$ par $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 1}{- 9}$

Étape 3.4.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = - \frac{{(\sqrt{1 - 9 x})}^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(\sqrt{1 - 9 x})}^{2} + 1}{9}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Réécrivez ${\sqrt{1 - 9 x}}^{2}$ comme $1 - 9 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - 9 x}$ comme ${(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {({(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{9}$

Étape 5.2.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{9}$

Étape 5.2.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{9}$

Étape 5.2.4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{9}$

Étape 5.2.4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- (1 - 9 x) + 1}{9}$

Étape 5.2.4.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- (1 - 9 x) + 1}{9}$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 9 x) + 1}{9}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 - (- 9 x) + 1}{9}$

Étape 5.2.4.4

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 + 9 x + 1}{9}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $- 1 + 9 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $9 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x}{9}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x}{9}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9})}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 (- \frac{x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{9}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 \frac{- x^{2}}{9} - 9 (\frac{1}{9})}$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 9 (- 1) (\frac{- x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Étape 5.3.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 9 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Étape 5.3.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 1 (- x^{2}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Étape 5.3.5

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 1 x^{2} - 9 (\frac{1}{9})}$

Étape 5.3.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} - 9 (\frac{1}{9})}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} + 9 (- 1) (\frac{1}{9})}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} + 9 \cdot (- 1 (\frac{1}{9}))}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

Étape 5.3.7

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 5.3.7.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$