Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ comme une équation.

$y = \frac{x}{x - 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez $(y - 1) (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - x = y$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y x - x - y = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - y = x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x - y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - y = x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = x$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = x$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Étape 5.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.2

Associez $- 1$ et $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.4

Réécrivez $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.4.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Étape 5.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Étape 5.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.2

Associez $- 1$ et $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4

Réécrivez $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$