Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{3}{5}} (4 - x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{3}{5}}$ et $g (x) = 4 - x$ .

$x^{\frac{3}{5}} \frac{d}{d x} [4 - x] + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{3}{5}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]) + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{3}{5}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{3}{5}} \frac{d}{d x} [- x] + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{3}{5}} (- \frac{d}{d x} [x]) + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{5}} (- 1 \cdot 1) + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{5}} \cdot - 1 + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

Étape 2.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{\frac{3}{5}}$ .

$- 1 \cdot x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

Étape 2.6.3

Réécrivez $- 1 x^{\frac{3}{5}}$ comme $- x^{\frac{3}{5}}$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{5}$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1})$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 5}{5}})$

Étape 6.2

Soustrayez $5$ de $3$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{- 2}{5}})$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{- \frac{2}{5}})$

Étape 8

Associez $\frac{3}{5}$ et $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) \frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}$

Étape 9

Placez $x^{- \frac{2}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{\frac{3}{5}} + 4 \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}} - x \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 10.2

Associez des termes.

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Étape 10.2.1

Associez $4$ et $\frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{4 \cdot 3}{5 x^{\frac{2}{5}}} - x \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - x \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 10.2.3

Associez $\frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$ et $x$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 10.2.4

Placez $x^{\frac{2}{5}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x \cdot x^{- \frac{2}{5}}}{5}$

Étape 10.2.5

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.5.1

Déplacez $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 (x^{- \frac{2}{5}} x)}{5}$

Étape 10.2.5.2

Multipliez $x^{- \frac{2}{5}}$ par $x$ .

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Étape 10.2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 (x^{- \frac{2}{5}} x^{1})}{5}$

Étape 10.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x^{- \frac{2}{5} + 1}}{5}$

Étape 10.2.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x^{- \frac{2}{5} + \frac{5}{5}}}{5}$

Étape 10.2.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x^{\frac{- 2 + 5}{5}}}{5}$

Étape 10.2.5.5

Additionnez $- 2$ et $5$ .

$- x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x^{\frac{3}{5}}}{5}$

Étape 10.2.6

Pour écrire $- x^{\frac{3}{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- x^{\frac{3}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 10.2.7

Associez $- x^{\frac{3}{5}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{- x^{\frac{3}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{3 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 10.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{\frac{3}{5}} \cdot 5 - 3 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 10.2.9

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 x^{\frac{3}{5}} - 3 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 10.2.10

Soustrayez $3 x^{\frac{3}{5}}$ de $- 5 x^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{- 8 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 10.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5}$