Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{7 x}{2^{x}}$

Étape 1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7 x}{2^{x}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 2^{x}$ .

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{{(2^{x})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{x})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{x \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \frac{2^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Étape 3.3

Multipliez $2^{x}$ par $1$ .

$7 \frac{2^{x} - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$7 \frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$

Étape 5

Associez $7$ et $\frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$ .

$\frac{7 (2^{x} - x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 \cdot 2^{x} + 7 (- x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $7 (- x (2^{x} \ln (2)))$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{7 \cdot 2^{x} - 7 (x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez $- 7 \ln (2)$ en déplaçant $7$ dans le logarithme.

$\frac{7 \cdot 2^{x} + x (2^{x} (- \ln (2^{7})))}{2^{2 x}}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{7 \cdot 2^{x} - \ln (2^{7}) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$\frac{7 \cdot 2^{x} - \ln (128) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Étape 6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $7 \cdot 2^{x} - \ln (128) x \cdot 2^{x}$ .

$\frac{7 \cdot 2^{x} - x \cdot 2^{x} \ln (128)}{2^{2 x}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2^{x} x \ln (128) + 7 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Étape 6.4

Factorisez $2^{x}$ à partir de $- 2^{x} x \ln (128) + 7 \cdot 2^{x}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $2^{x}$ à partir de $- 2^{x} x \ln (128)$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (128)) + 7 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Étape 6.4.2

Factorisez $2^{x}$ à partir de $7 \cdot 2^{x}$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (128)) + 2^{x} \cdot 7}{2^{2 x}}$

Étape 6.4.3

Factorisez $2^{x}$ à partir de $2^{x} (- x \ln (128)) + 2^{x} \cdot 7$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (128) + 7)}{2^{2 x}}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun à $2^{x}$ et $2^{2 x}$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $2^{2 x}$ à partir de $2^{x} (- x \ln (128) + 7)$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x}}$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{- x} (- x \ln (128) + 7)}{1}$

Étape 6.5.2.4

Divisez $2^{- x} (- x \ln (128) + 7)$ par $1$ .

$2^{- x} (- x \ln (128) + 7)$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$2^{- x} (- x \ln (128)) + 2^{- x} \cdot 7$

Étape 6.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 2^{- x} \cdot 7$

Étape 6.8

Déplacez $7$ à gauche de $2^{- x}$ .

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 7 \cdot 2^{- x}$

Étape 6.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 7 \cdot 2^{- x}$ .

$- x \cdot 2^{- x} \ln (128) + 7 \cdot 2^{- x}$