Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 - 3 x - x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 - 3 x - x^{2}] - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 3 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - (2 x)) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.13.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - 2 (4 - 3 x - x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) + (- 2 \cdot 4 - 2 (- 3 x) - 2 (- x^{2})) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Développez $(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (- 3 - 2 x) - 1 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 1 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{2} x - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.1.2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{1 + 2} - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 (x \cdot x)) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1

Additionnez $- 2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Soustrayez $8 x$ de $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 6 x + 3$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 6 x + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.5.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Étape 3.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Étape 3.6.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$