Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x {(5 x + 3)}^{4}$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x {(5 x + 3)}^{4}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x {(5 x + 3)}^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(5 x + 3)}^{4}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(5 x + 3)}^{4}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{4}] + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 5 x + 3$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x + 3$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x + 3$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 + 0)) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} \cdot 5) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4} \cdot 1)$

Étape 4.8

Multipliez ${(5 x + 3)}^{4}$ par $1$ .

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3})) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

Étape 5.2

Multipliez $20$ par $4$ .

$80 (x ({(5 x + 3)}^{3})) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

Étape 5.3

Factorisez $4 {(5 x + 3)}^{3}$ à partir de $80 x {(5 x + 3)}^{3} + 4 {(5 x + 3)}^{4}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $4 {(5 x + 3)}^{3}$ à partir de $80 x {(5 x + 3)}^{3}$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

Étape 5.3.2

Factorisez $4 {(5 x + 3)}^{3}$ à partir de $4 {(5 x + 3)}^{4}$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{3} (5 x + 3)$

Étape 5.3.3

Factorisez $4 {(5 x + 3)}^{3}$ à partir de $4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{3} (5 x + 3)$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x + 5 x + 3)$

Étape 5.4

Additionnez $20 x$ et $5 x$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (25 x + 3)$