Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$2 - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 3.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 3.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 - 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 3.9

Associez $- 3$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$2 + \frac{- 3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Étape 3.10

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 3.11

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{- 6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.12

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 3.13.2

Annulez le facteur commun.

$2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.13.3

Réécrivez l’expression.

$2 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$