Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} (3 x^{2} - 20)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 3 x^{2} - 20$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 20] + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.5

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{3} (6 x + 0) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.6

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$x^{3} (6 x) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4

Déplacez $6$ à gauche de $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 x^{4} + (3 x^{2} - 20) (3 x^{2})$

Étape 6

Déplacez $3$ à gauche de $3 x^{2} - 20$ .

$6 x^{4} + 3 \cdot (3 x^{2} - 20) x^{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{4} + (3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 20) x^{2}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Étape 7.3

Associez des termes.

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Étape 7.3.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Étape 7.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Étape 7.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{4} + 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Étape 7.3.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Étape 7.3.3

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 60 x^{2}$

Étape 7.3.4

Additionnez $6 x^{4}$ et $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$