Calcul infinitésimal Exemples

$\cot (x) \sin (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cot (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\cot (x) \cos (x) + \sin (x) (- \csc^{2} (x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\cos (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Étape 4.2.2

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 4.2.2.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Étape 4.2.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Étape 4.2.2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Étape 4.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Étape 4.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sin (x)$

Étape 4.2.3

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x)$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Étape 4.2.5.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Étape 4.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Étape 4.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1^{2}}{\sin (x)}$

Étape 4.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)}$

Étape 4.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1}{\sin (x)}$

Étape 4.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)}$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Étape 4.8

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Étape 4.9

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.10

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (x)$ et $\sin (x)$ .

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Étape 4.10.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.10.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Étape 4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Étape 4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sin (x)}{1}$

Étape 4.10.2.4

Divisez $- \sin (x)$ par $1$ .

$- \sin (x)$