Calcul infinitésimal Exemples

$9 \arctan (x + \sqrt{1 + x^{2}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [9 \arctan (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 \arctan (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\arctan (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\arctan (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$9 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{1}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ et $9$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 9.3

Placez ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 12

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

Étape 14.2

Associez $\frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.5

Réorganisez les facteurs de $\frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \frac{9}{1 + {(x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$