Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (x^{2} y)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x^{2} y$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.2

Associez $y$ et $\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 x)$

Étape 2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.4.1

Associez $2$ et $\frac{y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}}$ .

$\frac{2 y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} x$

Étape 2.4.2

Associez $\frac{2 y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}}$ et $x$ .

$\frac{2 y x}{1 + {(x^{2} y)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $x^{2} y$ .

$\frac{2 y x}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 y x}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 x y}{x^{4} y^{2} + 1}$