Calcul infinitésimal Exemples

$\arccos (\frac{x}{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arccos (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arccos (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

Étape 3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$