Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{3 - x^{3}}}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{3 - x^{3}}$ comme ${(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ comme ${({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 1.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ et $g (x) = 3 - x^{3}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Étape 7.2

Associez ${(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Étape 7.3

Placez ${(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Étape 10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 12

Multipliez.

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 12.2

Multipliez $\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (3 x^{2})$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{3}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} x^{2}$

Étape 14.2

Associez $\frac{3}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{{(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2}}{{(- x^{3} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$