Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\log_{9} (x)}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \log_{9} (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3

La dérivée de $\log_{9} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (9)$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x (\ln (9))} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ par $\frac{\ln (9)}{\ln (9)}$ .

$\frac{\ln (9)}{\ln (9)} \cdot \frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez.

$\frac{\ln (9) (\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (9) \frac{x}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $\ln (9)$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (9) \frac{x}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x) (2 x))}{\ln (9) x^{4}}$

Étape 8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x + \ln (9) (- 2 \log_{9} (x) x)}{\ln (9) x^{4}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Simplifiez $- 2 \log_{9} (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x^{2}) x)}{\ln (9) x^{4}}$

Étape 9.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x + \ln (9) (- \log_{9} (x^{2}) x)$ .

$\frac{x - x \ln (9) \log_{9} (x^{2})}{\ln (9) x^{4}}$

Étape 9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + x}{x^{4} \ln (9)}$

Étape 9.3

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + x$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (9) \log_{9} (x^{2})$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x}{x^{4} \ln (9)}$

Étape 9.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x^{1}}{x^{4} \ln (9)}$

Étape 9.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x \cdot 1}{x^{4} \ln (9)}$

Étape 9.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x \cdot 1$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + 1)}{x^{4} \ln (9)}$

Étape 9.4

Développez $\log_{9} (x^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x^{4} \ln (9)}$

Étape 9.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} \ln (9)$ .

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (9))}$

Étape 9.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (9))}$

Étape 9.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

Étape 9.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (9) \log_{9} (x) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

Étape 9.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \ln (9) \log_{9} (x)$ .

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

Étape 9.8

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) - 1 (- 1)}{x^{3} \ln (9)}$

Étape 9.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)}{x^{3} \ln (9)}$

Étape 9.10

Réécrivez $- (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)$ comme $- 1 (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)}{x^{3} \ln (9)}$

Étape 9.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1}{x^{3} \ln (9)}$