Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\cos (x^{2}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x^{2})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x^{2})$ .

$\frac{1}{\cos (x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Étape 2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ à $\sec (x^{2})$ .

$\sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$\sec (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) (2 x))$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$ .

$- 2 x \sec (x^{2}) \sin (x^{2})$

Étape 5.2

Réécrivez $\sec (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 5.3

Multipliez $- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

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Étape 5.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$x \frac{- 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 5.3.2

Associez $x$ et $\frac{- 2}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 5.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 5.6

Associez $\sin (x^{2})$ et $\frac{2 x}{\cos (x^{2})}$ .

$- \frac{\sin (x^{2}) (2 x)}{\cos (x^{2})}$

Étape 5.7

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x^{2})$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (x^{2}) x}{\cos (x^{2})}$

Étape 5.8

Séparez les fractions.

$- (\frac{2 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})$

Étape 5.9

Convertissez de $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ à $\tan (x^{2})$ .

$- (\frac{2 x}{1} \tan (x^{2}))$

Étape 5.10

Divisez $2 x$ par $1$ .

$- (2 x \tan (x^{2}))$

Étape 5.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x \tan (x^{2})$