Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (\sin (x^{2}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \sin (x^{2})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Étape 1.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x^{2})$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2}) (2 x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $\sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2})$

Étape 4.2

Réécrivez $\sec (\sin (x^{2}))$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 x {(\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})}^{2} \cos (x^{2})$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))}$ .

$2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Étape 4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 x \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Étape 4.5

Multipliez $2 x \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ .

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Étape 4.5.1

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ .

$x \frac{2}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Étape 4.5.2

Associez $x$ et $\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ .

$\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Étape 4.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Étape 4.7

Associez $\frac{2 x}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ et $\cos (x^{2})$ .

$\frac{2 x \cos (x^{2})}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$

Étape 4.8

Factorisez $\cos (\sin (x^{2}))$ à partir de $\cos^{2} (\sin (x^{2}))$ .

$\frac{2 x \cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2})) \cos (\sin (x^{2}))}$

Étape 4.9

Séparez les fractions.

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$

Étape 4.10

Réécrivez $\frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$ comme un produit.

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Étape 4.11

Écrivez $\cos (x^{2})$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\frac{\cos (x^{2})}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Étape 4.12

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Étape 4.12.1

Divisez $\cos (x^{2})$ par $1$ .

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Étape 4.12.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))}$ à $\sec (\sin (x^{2}))$ .

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$

Étape 4.13

Multipliez $\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$ .

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Étape 4.13.1

Associez $\cos (x^{2})$ et $\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))}$ .

$\frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\cos (\sin (x^{2}))} \sec (\sin (x^{2}))$

Étape 4.13.2

Associez $\frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\cos (\sin (x^{2}))}$ et $\sec (\sin (x^{2}))$ .

$\frac{\cos (x^{2}) (2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{\cos (\sin (x^{2}))}$

Étape 4.14

Séparez les fractions.

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$

Étape 4.15

Réécrivez $\frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$ comme un produit.

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Étape 4.16

Écrivez $\cos (x^{2})$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\frac{\cos (x^{2})}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Étape 4.17

Simplifiez

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Étape 4.17.1

Divisez $\cos (x^{2})$ par $1$ .

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Étape 4.17.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))}$ à $\sec (\sin (x^{2}))$ .

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$

Étape 4.18

Divisez $(2 x) \sec (\sin (x^{2}))$ par $1$ .

$(2 x) \sec (\sin (x^{2})) (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$

Étape 4.19

Multipliez $(2 x) \sec (\sin (x^{2})) (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$ .

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Étape 4.19.1

Élevez $\sec (\sin (x^{2}))$ à la puissance $1$ .

$2 x (\sec^{1} (\sin (x^{2})) \sec (\sin (x^{2}))) \cos (x^{2})$

Étape 4.19.2

Élevez $\sec (\sin (x^{2}))$ à la puissance $1$ .

$2 x (\sec^{1} (\sin (x^{2})) \sec^{1} (\sin (x^{2}))) \cos (x^{2})$

Étape 4.19.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x {\sec (\sin (x^{2}))}^{1 + 1} \cos (x^{2})$

Étape 4.19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x \sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2})$