Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) \sec (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sin (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\sin (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2.4

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2.4.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2.4.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2.4.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Étape 4.2.5

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.5.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec (x) \cos (x)$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez $\cos (x) \sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.5.3

Annulez les facteurs communs.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$

Étape 4.3

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) + 1$

Étape 4.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec^{2} (x)$