Calcul infinitésimal Exemples

$y = (\sin (x) + \cos (x)) \sec (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Étape 3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(\sin (x) \sec (x) + \cos (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) (- \sin (x))$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.2

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.4

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 6.5.4.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.4.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.4.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.4.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.5

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.5.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec (x) \cos (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.5.2

Réécrivez $\cos (x) \sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.5.3

Annulez les facteurs communs.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.6

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.7

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.8

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.8.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) \cos (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.8.2

Réécrivez $\cos (x) \sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.8.3

Annulez les facteurs communs.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \sec (x) \sin (x)$

Étape 6.5.9

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 6.5.10

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.6

Associez les termes opposés dans $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 6.6.1

Soustrayez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 0 + 1$

Étape 6.6.2

Additionnez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ et $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$

Étape 6.7

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) + 1$

Étape 6.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec^{2} (x)$