Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x^{2} + 1) (x + 5 + \frac{1}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = x + 5 + \frac{1}{x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x + 5 + \frac{1}{x}] + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5 + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 1) (1 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x + 0)$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x)$

Étape 2.9.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 5 + \frac{1}{x}$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + 2 \cdot (x + 5 + \frac{1}{x}) x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x + 5 + \frac{1}{x}) x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + (2 x + 2 \cdot 5 + 2 \frac{1}{x}) x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Étape 3.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Étape 3.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Étape 3.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Étape 3.4.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + 2 \frac{1}{x} x$

Étape 3.4.6

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2}{x} x$

Étape 3.4.7

Associez $\frac{2}{x}$ et $x$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2 x}{x}$

Étape 3.4.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.8.1

Annulez le facteur commun.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2 x}{x}$

Étape 3.4.8.2

Divisez $2$ par $1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + 2$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

Étape 3.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.1

Développez $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 (x^{2} + 1) - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

Étape 3.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Étape 3.6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Étape 3.6.2.1.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Étape 3.6.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.6.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Étape 3.6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Étape 3.6.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Étape 3.6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

Étape 3.6.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 0 - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

Étape 3.6.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$2 x^{2} + x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

Étape 3.7

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$