Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\arctan (5 x))}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \arctan (5 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\arctan (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\arctan (5 x)$ .

$2 \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 (x)$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ et $2$ .

$\frac{2}{1 + 25 x^{2}} \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{2}{1 + 25 x^{2}}$ et $\arctan (5 x)$ .

$\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Associez les fractions.

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Étape 3.4.1

Associez $5$ et $\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$ .

$\frac{5 (2 \arctan (5 x))}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Multipliez $\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{10 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$