Calcul infinitésimal Exemples

$y = (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 13 x^{2} - 26 x + 26$ et $g (x) = e^{- 7 x}$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 7 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 7 x$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 7 x$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} \cdot - 7 + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Étape 3.3.2

Déplacez $- 7$ à gauche de $(13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x}$ .

$- 7 \cdot ((13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $13 x^{2} - 26 x + 26$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26]$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26])$

Étape 3.5

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13 x^{2}$ par rapport à $x$ est $13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (13 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (13 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26])$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $13$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26])$

Étape 3.8

Comme $- 26$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 26 x$ par rapport à $x$ est $- 26 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [26])$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [26])$

Étape 3.10

Multipliez $- 26$ par $1$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26 + \frac{d}{d x} [26])$

Étape 3.11

Comme $26$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $26$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26 + 0)$

Étape 3.12

Additionnez $26 x - 26$ et $0$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 7 (13 x^{2}) - 7 (- 26 x) - 7 \cdot 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 7 (13 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 26 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 26 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26)$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 7 (13 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 26 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 26 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) + e^{- 7 x} \cdot - 26$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Multipliez $13$ par $- 7$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} - 7 (- 26 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 26 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) + e^{- 7 x} \cdot - 26$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 26$ par $- 7$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 182 x e^{- 7 x} - 7 \cdot 26 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) + e^{- 7 x} \cdot - 26$

Étape 4.4.3

Multipliez $- 7$ par $26$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 182 x e^{- 7 x} - 182 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) + e^{- 7 x} \cdot - 26$

Étape 4.4.4

Déplacez $- 26$ à gauche de $e^{- 7 x}$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 182 x e^{- 7 x} - 182 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) - 26 \cdot e^{- 7 x}$

Étape 4.4.5

Additionnez $182 x e^{- 7 x}$ et $e^{- 7 x} (26 x)$ .

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Étape 4.4.5.1

Déplacez $e^{- 7 x}$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 182 x e^{- 7 x} + 26 x e^{- 7 x} - 182 e^{- 7 x} - 26 e^{- 7 x}$

Étape 4.4.5.2

Additionnez $182 x e^{- 7 x}$ et $26 x e^{- 7 x}$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 208 x e^{- 7 x} - 182 e^{- 7 x} - 26 e^{- 7 x}$

Étape 4.4.6

Soustrayez $26 e^{- 7 x}$ de $- 182 e^{- 7 x}$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 208 x e^{- 7 x} - 208 e^{- 7 x}$

Étape 4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 91 e^{- 7 x} x^{2} + 208 e^{- 7 x} x - 208 e^{- 7 x}$

Étape 4.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 91 e^{- 7 x} x^{2} + 208 e^{- 7 x} x - 208 e^{- 7 x}$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 208 x e^{- 7 x} - 208 e^{- 7 x}$