Calcul infinitésimal Exemples

$x \arctan (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \arctan (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$x \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $\arctan (x)$ par $1$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x)$

Étape 4

Pour écrire $\arctan (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + \arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $\arctan (x)$ par $1$ .

$\frac{x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}$ .

$\frac{x + \arctan (x) + x^{2} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} \arctan (x) + x + \arctan (x)}{x^{2} + 1}$