Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (1 + \sin (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cos (x)$

Étape 4

Associez $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$