Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (| \cos (x) |)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | \cos (x) |$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $| \cos (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (x) |]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (x) |]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $| \cos (x) |$ .

$\frac{1}{| \cos (x) |} \frac{d}{d x} [| \cos (x) |]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{1}{| \cos (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $| u_{2} |$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \cos (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{| \cos (x) |} (\frac{\cos (x)}{| \cos (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3

Multipliez $\frac{\cos (x)}{| \cos (x) |}$ par $\frac{1}{| \cos (x) |}$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos (x) | | \cos (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{\cos (x)}{| \cos (x) \cos (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos^{1} (x) \cos (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (x)}{| {\cos (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 9

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos^{2} (x) |} (- \sin (x))$

Étape 10

Associez $\frac{\cos (x)}{| \cos^{2} (x) |}$ et $\sin (x)$ .

$- \frac{\cos (x) \sin (x)}{| \cos^{2} (x) |}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$- \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun à $\cos (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$- \frac{\cos (x) (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 11.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\cos (x) (\sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 11.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 11.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 11.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- \tan (x)$