Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\frac{6 - x}{6 + x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{6 - x}{6 + x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$\frac{1}{\frac{6 - x}{6 + x}} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$1 \frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{6 + x}{6 - x}$ par $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 6 - x$ et $g (x) = 6 + x$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [6 - x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [- x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- 1 \cdot 1) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \cdot - 1 - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $6 + x$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- 1 \cdot (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.6.3

Réécrivez $- 1 (6 + x)$ comme $- (6 + x)$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.8

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \cdot 1}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.11

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.11.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$

Étape 5.11.2

Multipliez $\frac{6 + x}{6 - x}$ par $\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$ .

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 - x) {(6 + x)}^{2}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Factorisez $6 + x$ à partir de $(6 - x) {(6 + x)}^{2}$ .

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{- 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{- 6 - x - 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Étape 7.3.1.3

Multipliez $- - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 - x - 6 + 1 x}{(6 - x) (6 + x)}$

Étape 7.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{- 6 - x - 6 + x}{(6 - x) (6 + x)}$

Étape 7.3.2

Associez les termes opposés dans $- 6 - x - 6 + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{- 6 + 0 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

Étape 7.3.2.2

Additionnez $- 6$ et $0$ .

$\frac{- 6 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

Étape 7.3.3

Soustrayez $6$ de $- 6$ .

$\frac{- 12}{(6 - x) (6 + x)}$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12}{(6 - x) (6 + x)}$