Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sqrt{x y})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x y}$ comme ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x y$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x y$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 10

Placez ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 11

Multipliez $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 12

Multipliez ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1

Déplacez ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(x y)}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 12.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{1}} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 13

Simplifiez $2 {(x y)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (x y)} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 14

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15

Simplifiez les termes.

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Étape 15.1

Associez $y$ et $\frac{1}{2 x y}$ .

$\frac{y}{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 15.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 15.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x} \cdot 1$

Étape 17

Multipliez $\frac{1}{2 x}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 x}$