Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)}$ comme $e^{\ln ({(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)})$ en déplaçant $\ln (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (x^{3} - 2 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} - 2 x)] + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{3} - 2 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3} - 2 x$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3} - 2 x$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) (\frac{1}{x^{3} - 2 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{x^{3} - 2 x}$ et $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x] + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2 \cdot 1) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 6

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{1}{x})$

Étape 7

Associez $\ln (x^{3} - 2 x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \frac{\ln (x^{3} - 2 x)}{x})$

Étape 8

Pour écrire $\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) \cdot \frac{x}{x} + \frac{\ln (x^{3} - 2 x)}{x})$

Étape 9

Associez $\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2)$ et $\frac{x}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) x}{x} + \frac{\ln (x^{3} - 2 x)}{x})$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) x + \ln (x^{3} - 2 x)}{x}$

Étape 11

Associez $x$ et $\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\frac{x \ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x)}{x}$

Étape 12

Associez $e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)}$ et $\frac{\frac{x \ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 2 x$ .

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Étape 13.1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x \cdot x^{2} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Étape 13.1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 2} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Étape 13.1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 2$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x (x^{2} - 2)} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Étape 13.1.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 13.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x (x^{2} - 2)} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Étape 13.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} - 2} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Étape 13.1.1.3

Multipliez $\frac{\ln (x)}{x^{2} - 2}$ par $3 x^{2} - 2$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x) (3 x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

Étape 13.1.2

Pour écrire $\ln (x^{3} - 2 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 2}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x) (3 x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} + \frac{\ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2})}{x}$

Étape 13.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x) (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

Étape 13.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x) (3 x^{2}) + \ln (x) \cdot - 2 + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

Étape 13.1.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{3 \ln (x) x^{2} + \ln (x) \cdot - 2 + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

Étape 13.1.4.3

Multipliez $\ln (x) \cdot - 2$ .

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Étape 13.1.4.3.1

Remettez dans l’ordre $\ln (x)$ et $- 2$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{3 \ln (x) x^{2} - 2 \cdot \ln (x) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

Étape 13.1.4.3.2

Simplifiez $- 2 \cdot \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{3 \ln (x) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

Étape 13.1.4.4

Simplifiez $3 \ln (x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

Étape 13.1.4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} + \ln (x^{3} - 2 x) \cdot - 2}{x^{2} - 2}}{x}$

Étape 13.1.4.6

Multipliez $\ln (x^{3} - 2 x) \cdot - 2$ .

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Étape 13.1.4.6.1

Remettez dans l’ordre $\ln (x^{3} - 2 x)$ et $- 2$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - 2 \cdot \ln (x^{3} - 2 x)}{x^{2} - 2}}{x}$

Étape 13.1.4.6.2

Simplifiez $- 2 \cdot \ln (x^{3} - 2 x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2})}{x^{2} - 2}}{x}$

Étape 13.1.5

Associez $e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)}$ et $\frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2})}{x^{2} - 2}$ .

$\frac{\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}}{x}$

Étape 13.1.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}$ .

$\frac{\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}}{x}$

Étape 13.2

Associez des termes.

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Étape 13.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}}{x}$ comme un produit.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 13.2.2

Multipliez $\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{(x^{2} - 2) x}$

Étape 13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x (x^{2} - 2)}$