Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{5} \ln (x))}^{6}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = x^{5} \ln (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5} \ln (x)$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez $x^{5}$ et $\frac{1}{x}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $x^{5} \ln (x)$ .

$6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 5.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (x^{5 \cdot 5} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$6 (x^{25} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 5.3.2

Multipliez $x^{25}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$6 (x^{4} x^{25}) \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{4 + 25} \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 5.3.2.3

Additionnez $4$ et $25$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 5.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 (x^{5 \cdot 5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 (x^{25} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 5.3.4

Multipliez $5$ par $6$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{25} \ln^{5} (x) (\ln (x) (x^{4}))$

Étape 5.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{4 + 25} \ln^{5} (x) \ln (x)$

Étape 5.3.6

Additionnez $4$ et $25$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} \ln^{5} (x) \ln (x)$

Étape 5.3.7

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} (\ln^{1} (x) \ln^{5} (x))$

Étape 5.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} {\ln (x)}^{1 + 5}$

Étape 5.3.9

Additionnez $1$ et $5$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} \ln^{6} (x)$