Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(3 x^{4} + 1)}^{4} (x^{3} + 4)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(3 x^{4} + 1)}^{4}$ et $g (x) = x^{3} + 4$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Étape 2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (3 x^{2} + 0) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (3 x^{2}) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Étape 2.4.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(3 x^{4} + 1)}^{4}$ .

$3 \cdot {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 3 x^{4} + 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{4} + 1$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{4} + 1$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) (4 {(3 x^{4} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{3} + 4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 \cdot (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1]$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4.5

Multipliez $4$ par $3$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (12 x^{3} + 0)$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.1

Additionnez $12 x^{3}$ et $0$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (12 x^{3})$

Étape 4.7.2

Multipliez $12$ par $4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 48 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (48 x^{3} + 48 \cdot 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Étape 5.2

Multipliez $48$ par $4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Étape 5.3

Factorisez ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ à partir de $3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ à partir de $3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2}$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1)) + (48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Étape 5.3.2

Factorisez ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ à partir de $(48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1)) + {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} ((48 x^{3} + 192) x)$

Étape 5.3.3

Factorisez ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ à partir de ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1)) + {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} ((48 x^{3} + 192) x)$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1) + (48 x^{3} + 192) x)$

Étape 5.4

Réorganisez les facteurs de ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1) + (48 x^{3} + 192) x)$ .

$x^{2} {(3 x^{4} + 1)}^{3} (3 (3 x^{4} + 1) + (48 x^{3} + 192) x)$