Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(2 x - 5)}^{4} {(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(2 x - 5)}^{4}$ et $g (x) = {(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$ .

${(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 5)}^{- 3}] + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = 8 x^{2} - 5$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $8 x^{2} - 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $8 x^{2} - 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Étape 3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $8$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Étape 3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x + 0)) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $16 x$ et $0$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x)) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Étape 3.6.2

Multipliez $16$ par $- 3$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 2 x - 5$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x - 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x - 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (4 {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Déplacez $4$ à gauche de ${(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 \cdot {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 5.5

Multipliez $2$ par $1$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 5.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 + 0)$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} \cdot 2$

Étape 5.7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 8 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Étape 6.3

Associez des termes.

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Étape 6.3.1

Associez $- 48$ et $\frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (\frac{- 48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Étape 6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Étape 6.3.3

Associez $x$ et $\frac{48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{x \cdot 48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Étape 6.3.4

Déplacez $48$ à gauche de $x$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{48 \cdot x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Étape 6.3.5

Associez ${(2 x - 5)}^{4}$ et $\frac{48 x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ .

$- \frac{{(2 x - 5)}^{4} (48 x)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Étape 6.3.6

Déplacez $48$ à gauche de ${(2 x - 5)}^{4}$ .

$- \frac{48 \cdot {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Étape 6.3.7

Associez $8$ et $\frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Étape 6.3.8

Associez $\frac{8}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ et ${(2 x - 5)}^{3}$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$

Étape 6.3.9

Pour écrire $\frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} \cdot \frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$

Étape 6.3.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(8 x^{2} - 5)}^{4}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.10.1

Multipliez $\frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ par $\frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}$

Étape 6.3.10.2

Multipliez ${(8 x^{2} - 5)}^{3}$ par $8 x^{2} - 5$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.10.2.1

Multipliez ${(8 x^{2} - 5)}^{3}$ par $8 x^{2} - 5$ .

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Étape 6.3.10.2.1.1

Élevez $8 x^{2} - 5$ à la puissance $1$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3} {(8 x^{2} - 5)}^{1}}$

Étape 6.3.10.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3 + 1}}$

Étape 6.3.10.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 48 {(2 x - 5)}^{4} x + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 48 x {(2 x - 5)}^{4} + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Factorisez $8 {(2 x - 5)}^{3}$ à partir de $- 48 x {(2 x - 5)}^{4} + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)$ .

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Étape 6.5.1.1

Factorisez $8 {(2 x - 5)}^{3}$ à partir de $- 48 x {(2 x - 5)}^{4}$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.5.1.2

Factorisez $8 {(2 x - 5)}^{3}$ à partir de $8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5) + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 5 + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 5 + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.5.4

Multipliez $- 5$ par $- 6$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x \cdot x + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.5.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 (x \cdot x) + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.5.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x^{2} + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.5.5.2

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 12 x^{2} + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.5.6

Additionnez $- 12 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 4 x^{2} + 30 x - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2}) + 30 x - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $30 x$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2}) - (- 30 x) - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2}) - (- 30 x)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x) - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.9

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x) - 1 (5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2} - 30 x) - 1 (5)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x + 5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.11

Réécrivez $- (4 x^{2} - 30 x + 5)$ comme $- 1 (4 x^{2} - 30 x + 5)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 1 (4 x^{2} - 30 x + 5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(8 {(2 x - 5)}^{3}) (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Étape 6.13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(8 {(2 x - 5)}^{3}) (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ .

$- \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$