Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} + 3 e^{x}}{2 e^{x} - x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 3 e^{x}$ et $g (x) = 2 e^{x} - x$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 e^{x}] - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{x} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Développez $(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{x} (2 x + 3 e^{x}) - x (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{x} (2 x) + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{x} (2 x) + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot 2 e^{x} x + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 e^{x} x + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{x} e^{x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.4

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.2.1.4.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 (e^{x} e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{x + x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.4.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{2 x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 x \cdot x - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.2.1.7.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 x^{2} - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 1 \cdot 3 x e^{x} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 3 x e^{x} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.2

Soustrayez $3 x e^{x}$ de $4 e^{x} x$ .

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Étape 7.2.1.2.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{4 x e^{x} - 3 x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.2.2

Soustrayez $3 x e^{x}$ de $4 x e^{x}$ .

$\frac{1 x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5

Développez $(- x^{2} - 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x} - 1) - 3 e^{x} (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} e^{x} - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6.3

Multipliez $- x^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 7.2.1.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + 1 x^{2} - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{x} e^{x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6.5

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.6.5.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 (e^{x} e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{x + x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6.5.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{2 x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6.6

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6.7

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Associez les termes opposés dans $x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} + 3 e^{x}$ .

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $6 e^{2 x}$ de $6 e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} + 0 + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.2.3

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x e^{x} - x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + e^{x} x - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + e^{x} x - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $e^{x} x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- e^{x} x) - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- e^{x} x)$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x) - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x) - (2 e^{x} x^{2}) + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - e^{x} x) - (2 e^{x} x^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.9

Factorisez $- 1$ à partir de $3 e^{x}$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) - (- 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) - (- 3 e^{x})$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.11

Réécrivez $- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})$ comme $- 1 (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Étape 7.13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - x e^{x} + 2 x^{2} e^{x} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$