Calcul infinitésimal Exemples

$y = {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\sin (5 x)}^{\ln (x)}$ comme $e^{\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})$ en déplaçant $\ln (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln (x) \ln (\sin (5 x))$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (x) \ln (\sin (5 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (x) \ln (\sin (5 x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (\sin (5 x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (5 x))] + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (5 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (5 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5

Convertissez de $\frac{1}{\sin (5 x)}$ à $\csc (5 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 6.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 7.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $\csc (5 x) \cos (5 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 8

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{1}{x})$

Étape 9

Associez $\ln (\sin (5 x))$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x))) + e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

Étape 10.2

Associez des termes.

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Étape 10.2.1

Déplacez $5$ à gauche de $e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x)$ .

$5 \cdot (e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x)) \csc (5 x) \cos (5 x) + e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

Étape 10.2.2

Associez $e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))}$ et $\frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$ .

$5 e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x) \csc (5 x) \cos (5 x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))}{x}$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \cos (5 x) \csc (5 x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))}{x}$