Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x^{4} + 2)}^{2}$ et $g (x) = {(x^{3} + 4)}^{4}$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4)}^{4}] + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{3} + 4$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3} + 4$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3} + 4$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} (4 {(x^{3} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Déplacez $4$ à gauche de ${(x^{4} + 2)}^{2}$ .

$4 \cdot {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Étape 3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 x^{2} + 0) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 x^{2}) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{4} + 2$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{4} + 2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 2])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 2])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{4} + 2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} (2 (x^{4} + 2) \frac{d}{d x} [x^{4} + 2])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{3} + 4)}^{4}$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 \cdot {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 5.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (4 x^{3} + 0)$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (4 x^{3})$

Étape 5.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Factorisez $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ à partir de $12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ à partir de $12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ .

$4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2)) + 8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$

Étape 6.1.2

Factorisez $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ à partir de $8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$ .

$4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2)) + 4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (2 (x^{3} + 4) x)$

Étape 6.1.3

Factorisez $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ à partir de $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2)) + 4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (2 (x^{3} + 4) x)$ .

$4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2) + 2 (x^{3} + 4) x)$

Étape 6.2

Réorganisez les facteurs de $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2) + 2 (x^{3} + 4) x)$ .

$4 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 (x^{4} + 2) + 2 (x^{3} + 4) x) (x^{4} + 2)$