Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}$ comme ${(e^{x} + e^{- x})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(e^{x} + e^{- x})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{x} + e^{- x}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{x} + e^{- x}$ .

$2 (- {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 ({(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 6.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Étape 6.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} - e^{- x})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

Étape 7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

Étape 7.3

Réorganisez les facteurs de $- \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$ .

$- (e^{x} - e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$(- e^{x} - - e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Étape 7.5

Multipliez $- - e^{- x}$ .

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Étape 7.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(- e^{x} + 1 e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Étape 7.5.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$(- e^{x} + e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Étape 7.6

Multipliez $- e^{x} + e^{- x}$ par $\frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$ .

$\frac{(- e^{x} + e^{- x}) \cdot 2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Étape 7.7

Déplacez $2$ à gauche de $- e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{2 \cdot (- e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Étape 7.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{x}$ .

$\frac{2 (- (e^{x}) + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Étape 7.9

Factorisez $- 1$ à partir de $e^{- x}$ .

$\frac{2 (- (e^{x}) - 1 (- e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Étape 7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{x}) - 1 (- e^{- x})$ .

$\frac{2 (- (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Étape 7.11

Réécrivez $- (e^{x} - e^{- x})$ comme $- 1 (e^{x} - e^{- x})$ .

$\frac{2 (- 1 (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Étape 7.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$