Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x^{3} - 5 x^{2}}{x + 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2}$ et $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 5 x^{2}] - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(x + 2) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 5 (2 x)) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(x + 2) (6 x^{2} - 10 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (6 x^{2} - 10 x) + 2 (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (6 x^{2}) + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (6 x^{2}) + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2} x) + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.2.1.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (x^{2} x^{1}) + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{2 + 1} + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{6 x^{3} + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x^{3} - 10 x \cdot x + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 10 (x \cdot x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 10 x^{2} + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.5

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 10 x^{2} + 12 x^{2} + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.6

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 10 x^{2} + 12 x^{2} - 20 x - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Additionnez $- 10 x^{2}$ et $12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x - 2 x^{3} - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x - 2 x^{3} + 5 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 5 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $2 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{x (4 x^{2}) + 7 x^{2} - 20 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $7 x^{2}$ .

$\frac{x (4 x^{2}) + x (7 x) - 20 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $- 20 x$ .

$\frac{x (4 x^{2}) + x (7 x) + x \cdot - 20}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x^{2}) + x (7 x)$ .

$\frac{x (4 x^{2} + 7 x) + x \cdot - 20}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x^{2} + 7 x) + x \cdot - 20$ .

$\frac{x (4 x^{2} + 7 x - 20)}{{(x + 2)}^{2}}$